פרופ' יצחק דנה - מבוא לפיסיקת הכאוס 86-834

א. מטרות הקורס (מטרות על / מטרות ספציפיות):

מטרתו הראשונה של קורס זה היא להכניס את הסטודנט לפיסיקה (בתואר שני או שלישי וגם בשנה ג', סמסטר ב') לתאוריה הבסיסית של דינמיקה-לא-לינארית (תנועה מסודרת וכאוטית) המילטונית קלאסית, תוך שימוש במודלים פשוטים אך מייצגים ומציאותיים, במסגרת ה"מינימלית" של שתיים או "1.5" דרגות חופש. המטרה השניה היא ללמוד מגוון של תופעות מעניינות בדינמיקה הקוונטית של המערכות הקוונטיות המתאימות למודלים הקלאסיים הנ"ל. רובן של תופעות אלו הוגשמו באופן נסיוני בעיקר על-ידי טכניקות של אופטיקה אטומית. בנוסף, נלמד גם על קשרים מדוייקים בין כמה מהתופעות האלה לתופעות חשובות בפיסיקה של המצב המוצק, כגון: לוקאליזציית אנדרסון, מעבר מתכת-מבודד, ותופעת הול הקוונטית (מספרים קוונטיים טופולוגיים). על-בסיס קשרים אלו, שתי התופעות הראשונות הוגשמו באופן נסיוני על-ידי טכניקות של אופטיקה אטומית עם מערכות דינמיות קוונטיות ששימשו כ"סימולטורים". המטרה השלישית היא ללמוד מושגים/נושאים בסיסיים ב"כאוס קוונטי" (גבולות קלאסיים, סטטיסטיקה ספקטראלית של מערכות עם גבול קלאסי מסודר או כאוטי,  וכו'), וכן מושגים ראשונים וחשובים של מכניקה קוונטית במרחב הפאזה.   

 

ב. תוכן הקורס: (רציונל, נושאים)

תכנית הוראה מפורטת לכל השיעורים:

 

1. Lagrangian; Hamiltonian; Canonical Transformations; 

    Integrability; Action-Angle Variables; Tori; Poincare Map;  

    Area Preservation; Integrable Map; Ordered Orbits.

 

2. Small Perturbations to Integrable Maps; Standard Maps;

    Periodic Orbits (POs); Accelerator Modes; Isolation; Linear  

    Stability of POs; Residue; Index; Bifurcations.

3. Ordered POs in Twist Maps; Poincare-Birkhoff Theorem;  

    Origin of Hamiltonian Chaos from Homoclinic and  

    Heteroclinic Intersections; Smale Horseshoe; Bernoulli Map;

              Topological Entropy; "Stochastic" Resonances and Island Chains.

 

4. Rotational Invariant Circles (RICs); Winding Number (WN);  

    Continued Fractions; Degree of Irrationality of WN (DIWN);  

    Kolmogorov-Arnol'd-Moser (KAM) Theory for RICs;

    Robustness of RICs according to their DIWN; Greene's

    Critical RICs.

 

5. Breakup of RICs; Cantori; Turnstile; Flux; Partial Barriers;  

    Normal and Anomalous Chaotic Diffusion; Summary:  

    Generic Phase-Space Structure of KAM Systems.

 

6. Non-KAM Systems; Weak Chaos; Pseudochaos.

 

7. Quasienergy; Dynamical Localization; Anderson Localization  

    in Pseudorandom Disorder (PRD) and in Incommensurate

    Systems; Metal-Insulator Transition in PRD.

 

8. Phase-Space Translations; Quasimomentum; Quantum 

    Resonance and Antiresonance; Pseudoclassical Regimes;  

    Quantum Accelerator Modes; Quantum Ratchets.

 

9. Hofstadter's Butterfies and Fractal Spectra; Topological

    Quantum Numbers (Chern Indices) for the Characterization  

    of the Classical-Quantum Correspondence on a Phase-Space  

    Torus; Analogy of Chern Indices to Quantum Hall

               Conductances; Diffusion of Chern Indices in Parameter Space.

 

          10. Spectral Statistics of Classically Integrable and Nonintegrable 

                 Systems.

 

ג. חובות הקורס:

דרישות קדם:  קורסי המתמטיקה לפיסיקאים של תואר ראשון, מכניקה אנליטית וקורס ראשון במכניקה קוונטית.

חובות / דרישות / מטלות:  מבחן או עבודה סופית, נוכחות, השתתפות והגשת תרגילי בית.

מרכיבי הציון הסופי (ציון מספרי / ציון עובר): %50  מבחן או עבודה סופית, 50%  נוכחות/השתתפות והגשת תרגילי בית.

 

ד. ביבליוגרפיה: (חובה/רשות)

ספרי הלימוד (textbooks) וספרי עזר נוספים: הרצאותיו הכתובות של פרופ' יצחק דנה באתר הקורס;  ספרי לימוד, מאמרי סקירה, ומאמרים נבחרים על-פי רשימות ביבליוגרפיות באתר הקורס; סקירות ומאמרים מסוימים שימצאו בעצמם באתר הקורס.

חומר מחייב למבחנים: כל החומר שיועבר בקורס.